高斯解決的千年難題是什麼

高斯在完成作業的時候發現，老師佈置的最後一道題怎麼感覺比平日裡難很多，他以為老師只想考考他，於是一直坐在桌子前面思考如何解答問題。

題目是讓用尺規畫出正十七邊形，高斯並不知道這道題難倒過阿基米德，還以為是老師能解開的題目，於是不服輸的他用了一個晚上，終於將正十七邊形的畫法推匯出來。

高斯先通過三等分角判定方程，建立了基本等價方程式，初步獲得解決方案後，他又建立了等價的一元二次方程，最終只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七邊形的尺規作圖法。

高斯的另一成就——高斯定理

用高斯的方法，主要是將 2π/17這個非特殊角度，通過轉換，用特殊角度的組合表示。其次就是對於三角函式的恆等變換，這一步工作看似相當基礎，實則關係重大，高斯正是通過這一系列繁雜的恆等變換，層層推進證明出正十七邊形的可作圖。這是高斯一個晚上完成的結果，當它第二天頂著黑眼圈去上課交作業時，把老師驚呆了，這個2000年無人解答的問題，到高斯手裡一個晚上就出來了。

值得注意的是，高斯並沒有直接畫圓，他只證明了正十七邊形可以用尺規作圖法。這就好比，建造一座大樓，高斯是設計師，但他不參與修建過程。後世在高斯證明的引導下，畫出了正十七邊形。

步驟如下：先畫一個圓O，作兩垂直的直徑AB、CD。然後在OA上作一個E點，要使O點到E點的距離是半徑的四分之一，再將C點和E點連線起來。將∠CEB平分線得到平分線EF再將∠FEB平分線，平分線為EG，與CO交於P點。作∠GEH，度數45°，並且交CD於Q點。

以CQ為直徑作圓，與OB交於K。再以P為圓心，PK為半徑，畫一個圓，與CD交於L與M兩點。分別過M、L作CD的垂線，與圓O於N與R。兩點作弧NR的中點S，以SN為半徑將圓O分成17等份。