自然數的3次方的和

三次方和的公式是a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，立方和公式是有時在數學運算中需要運用的一個公式。該公式的文字表達為：兩數和，乘它們的平方和與它們的積的差，等於這兩個數的立方和，表示式為：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。

正整數範圍中 

1³ + 2³ + …… n³

=[n (n+1) / 2]²

=（1+2+……+n）²

公式證明

我們知道：

0次方和的求和公式ΣN^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)/6

即1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

(X+1)^4－X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1 　

係數可由楊輝三角形來確定那麼就得出： (N+1)^4－N^=4N^3+6N^2+4N+1....(1) N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3) ...　

2^4－1^4

=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n) .

於是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左邊=(N+1)^4-1

右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以呢 　把以上這已經證得的三個公式代入 4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1 得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N 　移項後得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等號右側合併同類項後得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2) 即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2 大功告成！

立方和公式推導完畢 1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2