平面幾何知識點

知識點一 相交線和平行線

1、定理與性質

對頂角的性質：對頂角相等。

2、垂線的性質：

性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質2：連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

3、平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

4、平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。

性質2：兩直線平行，內錯角相等。

性質3：兩直線平行，同旁內角互補。

5、平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。

判定2：內錯角相等，兩直線平行。

判定3：同旁內角相等，兩直線平行。

知識點二 三角形

一、三角形相關概念

1．三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形

要點：①三條線段②不在同一直線上③首尾順次相接．

2．三角形中的三種重要線段

（1）三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．

（2）三角形的中線：在一個三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線．

（3）三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．

二、三角形三邊關係定理

①三角形兩邊之和大於第三邊，故同時滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形兩邊之差小於第三邊，故同時滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：判定這三條線段能否構成一個三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大於第三條線段即可

三、三角形的穩定性

三角形的三邊確定了，那麼它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質就叫做三角形的穩定性．例如起重機的支架採用三角形結構就是這個道理．

四、三角形的內角

結論1：三角形的內角和為180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

結論2：在直角三角形中，兩個銳角互餘．

注意：①在三角形中，已知兩個內角可以求出第三個內角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三個內角和的比或它們之間的關係，求各內角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數．

五、三角形的外角

1．意義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．

2．性質：

①三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和.

②三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角.

③三角形的一個外角與與之相鄰的內角互補

六、多邊形

①多邊形的對角線條對角線②n邊形的內角和為（n－2）×180°③多邊形的外角和為360°

知識點三 全等三角形

一、全等三角形

1、“全等”的理解 全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形（2）大小相等的圖形

即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性質

（1）全等三角形對應邊相等（2）全等三角形對應角相等

3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等。（SSS）

（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)

（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(AAS)

（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(SAS)

（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。(HL)

4、角平分線的性質及判定

性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

判定：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上

二、軸對稱圖形

（一）基本定義

1、軸對稱圖形

如果一個圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸.摺疊後重合的點是對應點，叫做對稱點.

2、線段的垂直平分線

經過線段中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

3、軸對稱變換

由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.

4、等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

5、等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

（二）性質

1、如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.或者說軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

2、線段垂直平分錢的性質

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

3、（1）點P（x，y）關於x軸對稱的點的座標為P′（x，-y）.

（2）點P（x，y）關於y軸對稱的點的座標為P″（-x，y）.

4、等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸.

（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。

（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行於這個三角形的底邊.

5、等邊三角形的性質

（1）等邊三角形的三個內角都相等，並且每一個角都等於60°.

（2）等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱軸.

（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對內角的平分線互相重合.

（三）有關判定

1、與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

2、如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.

3、三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

知識點四 勾股定理

1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼

a2＋b2＝c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方

勾：直角三角形較短的直角邊

股：直角三角形較長的直角邊

弦：斜邊

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關係：a2＋b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。

2、 勾股數：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數叫做勾股數（注意：若a，b，c、為勾股數，那麼ka，kb，kc同樣也是勾股陣列。）

*附：常見勾股數：3，4，5 6，8，10 9，12，15 5，12，13

3、 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那麼這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。

（2）有兩個角互餘的三角形是直角三角形。

用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：

（1）確定最大邊（不妨設為c）

（2）若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形

若a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）

若a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）

4、注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半

（2）在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。

（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30°。

5、 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。

（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關係。

（3）用於證明線段平方關係的問題。

（4）利用勾股定理，作出長為的線段

6、勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法