布朗運動的協方差

布朗運動可以定義為： 

{B(t)，t≥0}

為標準布朗運動 其中 B(t)是連續時間的隨機過程

布朗橋 

令B(0)=0，在 B(0)=B(1)=0的條件下，它的概率分佈服從維納過程W(t) 的條件概率分佈。

B00(t)=B(t)−tB(1)

則稱

{B00(t)，0≤t≤1}

是布朗橋

方差為t(1−t)的時候橋的期望值是零，意思是最高不確定在橋中央，而在叉點處為零不確定。B(s)與B(t)的協方差是s(1−t) if s<t。布朗橋的增長是非獨立性的。 

如果 W(t)是個標準的維納過程，B(t)=W(t)−tW(1) 就是一個布朗橋。 

如果相反，B(t)是個布朗橋，Z是個標準的隨機變數，那麼W(t)=B(t)+tZ 是t∈[0，1] 區間的一個維納過程