真數和底數為什麼不能為零呢

首先說底數為什麼不能小於 0

如果底數 a < 0，a^x 對許多實數都是沒有定義的，比如開偶次方的情形，這樣 y = a^x 的函式影象

就只能定義在一個很怪的集合上，值域也會很奇怪，反函式自然就很怪

如果底數 a = 0 或 1，注意到 0^x = 0 (x>0)，1^x = 1，故 y = a^x 不是單射，沒有反函式

這樣底數的範圍包含於 (0，∞)-{1}

而對上述集合中的任意數 a，y = a^x 對 x∈R 有定義且是單射，這樣就可以定義反函式，記為

y = log_a x

同時注意到當 a>0 時，a^x > 0，故反函式的自變數 x > 0，也就是真數大於 0

真數和底數不能為零的原因應該從對數的逆運算中去尋找。我們知道，對數的定義就是從指數入手的，事實上對數的概念就是來源於指數。如果a^b=c，則c叫做以a為底b的對數。這裡的c就是真數。如果這個a為零，則c也是零，而b卻可以是任何數！如果允許底數真數為零，則其對數值b就是無法確定的，這在數學上就是自找麻煩。