余数的性质四大定理

同余定义

如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．（a，b，c均为自然数）

例如：17与13除以3的余数都是2，所以(17－11)能被3整除．

同余定理

①如果 a%b = c， 则有(a+kb)%b = c (k为非0整数)

②如果 a%b = c， 则有(k*a)%b = k*c%b (k为正整数)

③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c

④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c

（一）可加性

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

（二）可减性

a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差．

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．

注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.

（三）可乘性

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于3*1 = 3．  

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以5的余数等于3*4除以5的余数．

（四）乘方性

如果a与b除以m的余数相同，那么a^n与b^n除以m的余数也相同，但不一定等于原余数．

例如：3，7除以4的余数都是3，可以算得3^2和7^2除以4的余数都等于1，它们的余数相等但不一定等于3.

余数判别法

当一个数N不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数

答（1）余数不大于被除数，（2）余数不能等于被除教（3）余数不能大于除数（4）余数不能等于除数（4）余数必须小于除数。