一阶线性递推公式
一阶线性递推数列主要有如下几种形式:
1、
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当为等差数列时,则为二阶等差数列,其通项公式应当为形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是,其常数项一定为0.
2、
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式.
3、
这类数列通常可转化为,或消去常数转化为二阶递推式.
例1已知数列中,,求的通项公式.
解析:解法一:转化为型递推数列.
∵∴又,故数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.∴,即.
解法二:转化为型递推数列.
∵=2xn-1+1(n≥2)①∴=2xn+1②
②-①,得(n≥2),故{}是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即,再用累加法得.
解法三:用迭代法.
当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明.
例2已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
解析:由已知得,则.
令=,则.比较系数,得.
即有.∴数列{}是以为首项,为公比的等比数列,∴,故.
评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之.
(4)
若取倒数,得,令,从而转化为(1)型而求之.
(5)
这类数列可变换成,令,则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例3设数列求数列的通项公式.
解析:∵,两边同除以,得.令,则有.于是,得,∴数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而.
例4设求数列的通项公式.
解析:设用代入,可解出.
∴是以公比为-2,首项为的等比数列.
∴
即.
(6)
这类数列可取对数得,从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例5设数列求数列的通项公式.
解析:由可得
设
故即用累加法得
或
例6在数列求数列的通项公式.
解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.
令使数列是以 为公比的等比数列(待定).
即∴对照已给递推式, 有即的两个实根.
从而
∴①
或②
由式①得由式②得.
消去.
例7在数列求.
解析:由①,得②.
式②+式①,得,从而有.∴数列是以6为其周期.故==-1.
三、特殊的n阶递推数列
例8已知数列满足,求的通项公式.
解析:∵ ①
∴ ②
②-①,得.∴故有
将这几个式子累乘,得
又
例9数列{}满足,求数列{}的同项公式.
解析:由 ①,得 ②.
式①-式②,得,或,故有.
∴,.
将上面几个式子累乘,得,即.
∵也满足上式,∴
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