雙射和滿射的區別
"滿射和雙射" 描述函數的行為,函數是把一個集 "A" 的元素與另一個集 "B" 的元素配對的方法。
滿射的意思是每個(所有)"B"的元素都有至少一個相對的"A"的元素(可能多於一個),沒有一個"B"的元素是沒有相對的"A"的元素的。
雙射的意思是單射和雙射都成立,所以兩個集合的每個元素之間都有一個完美的"一對一"關係,(但這不只是單射的"一對一"關係)。
單射只能一對一,不能多對一,滿射就是不論一對一,還是多對一,在映射f:X→Y中,Y中任一元素y都是X中某元素的像,也就是Y中所有元素在X中都能找到原像,至於找到的只有一個原像,那就是雙射,但有的可以找到一個以上的那就不是雙射,即雙射就是既是單射又是滿射。
    設f是由集合A到集合B的映射,如果所有x,y∈A,且x≠y,都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射。在數學裏,單射函數為一函數,其將不同的引數連接至不同的值上。更精確地説,函數f被稱為是單射時,對每一值域內的y,存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。另一種説法為,f為單射,當f(a) = f(b),則a = b(若a≠b,則f(a)≠f(b)),其中a、b屬於定義域。單射在某些書中也叫入射,可理解成“原不同則像不同”。
    如果每個可能的像至少有一個變量映射其上(即像集合B中的每個元素在A中都有一個或一個以上的原像),或者説值域任何元素都有至少有一個變量與之對應,那這個映射就叫做滿射。
    既是單射又是滿射的映射稱為雙射,亦稱“一一映射”。雙射(Bijection)的原理是一組關係,在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物,理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的,所以需要抽象出他們的關係,找到這個雙射,如果找不到,並且驗證這個雙射不存在,那麼想法是不可能實現的。
    單射(injection):每一個x都有唯一的y與之對應,滿射(surjection):每一個y都必有至少一個x與之對應,雙射(又叫一一對應,bijection): 同時滿足單射與滿射,也就是常見的函數映射。那麼通俗的説,單射就是隻能一對一,不能多對一,滿射就是不論一對一,還是多對一,在映射f:X→Y中,Y中任一元素y都是X中某元素的像,也就是Y中所有元素在X中都能找到原像,至於找到的只有一個原像,那就是雙射,但有的可以找到一個以上的那就不是雙射,即雙射就是既是單射又是滿射。總之只能一對一或多對一,但不能一對多,並且在映射f:X→Y中X的每個元素都參與,Y中可能都參與,那就滿了,就是滿射,反之就不是滿射。
滿射:對任意b,存在a滿足f(a) = b~ 即:值域y是滿的,每個y都有x對應,不存在某個y沒有x對應的情況~
單射:(one-to-one function) 一對一函數,x不同則y不同~ 即:沒有一個x對應兩個y,也沒有一個y有對應兩個x~
雙射:既是滿射,也是單射~ 即:每個y都有x對應,而且都是一一對應~
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