韋達定理與三次四次方程的應用
    韋達定理説明了一元二次方程中根和係數之間的關係。
     法國數學家弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係,提出了這條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係,人們把這個關係稱為韋達定理。
下面是韋達定理與三次四次方程的應用
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫座標平移y=x+s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消
去.所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程.
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裏a和b是待定的參數.
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知,一定可以適當選取a和b,使得在x=a-b的同時
3ab+p=0.這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程,所以可以解得a.進而可解出b和根x.
費拉里發現的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一樣,可以用一個座標平移來消去四次方程
一般形式中的三次項.所以只要考慮下面形式的一元四次方程:
x4=px2+qx+r
關鍵在於要利用參數把等式的兩邊配成完全平方形式.考慮一個參數
a,我們有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右邊是完全平方式若且唯若它的判別式為0,即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
這是一個關於a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我們可以
解出參數a.這樣原方程兩邊都是完全平方式,開方後就是一個關於x
的一元二次方程,於是就可以解出原方程的根x.
韋達定理(Vieta's Theorem)的內容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
設兩個根為X1和X2
則X1+X2= -b/a 韋達定理
X1*X2=c/a
不能用於線段
用韋達定理判斷方程的根
若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根
若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根
若b^2-4ac
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