海娜定律
海娜定理是溝通函數極限和數列極限之間的橋樑。根據海娜定理,求函數極限則可化為求數列極限,同樣求數列極限也可轉化為求函數極限。因此,函數極限的所有性 質都可用數列極限的有關性質來加以證明。
函數f(x)在x→x0時極限等於A的充要條件是,對於任何滿足以下三個條件的數列{xn},都有n→+∞時f(xn)的極限等於A成立:
(1)對任何正整數n,都有xn≠x0
(2)對任何正整數n,f(xn)都要有定義
(3)n→+∞時xn→x0.
要證明一個函數極限不存在有兩種思路:
一是找到一個滿足定理中三個條件的數列{xn}使得n→+∞時f(xn)的極限不存在
二是找到兩個滿足定理中三個條件的數列{xn}和{x'n}使得n→+∞時f(xn)和f(x'n)不相等.
此外,若某個函數極限的值已經確定,則對應的數列極限也為此值,這裏的理論依據也是海涅定理. 通過這個道理,我們可以將某些數列極限轉化為函數極限進行計算(這樣方便求導、使用洛必達法則等),然後轉化回數列極限.
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