知道特解怎麼求原微分方程
解答
微分方程y''-3y'+2y=xex對應的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0
特徵方程為t2-3t+2=0
解得t1=1,t2=2
故齊次微分方程對應的通解y=C1ex+C2e2x
因此,微分方程y''-3y'+2y=xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=x(ax+b)ex=(ax2+bx)ex
y*'=[ax2+(2a+b)x+b]ex
y*''=[ax2+(4a+b)x+(2a+2b)]ex
將y*,y*',y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到:
[ax2+(4a+b)x+(2a+2b)]-3[ax2+(2a+b)x+b]+2(ax2+bx)=x
-2ax+2a-b=x
−2a=1
2a+b=0
a=−
1
2
b=1
所以,非齊次微分方程的特解為y*=(−
1
2
x2+x)ex
由於非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解
所以,微分方程y''-3y'+2y=xex的通解為y+y*=(−
1
2
x2+x+C1)ex+C2e2x.
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