完全平方數特徵

性質1：完全平方數的末位數只能是0，1，4，5，6，9。

性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。

證明 奇數必為下列五種形式之一：

10a+1， 10a+3， 10a+5， 10a+7， 10a+9

分別平方後，得

(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1，5，9十位數字為偶數。

性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。

證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k為奇數。

推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。

推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。

性質4：偶數的平方是4的倍數奇數的平方是4的倍數加1。

這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1

(2k)=4

性質5：奇數的平方是8n+1型偶數的平方為8n或8n+4型。

在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。

性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k，3k+1。

因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m，3m+1， 3m+2。平方後，分別得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。

性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m，16m+1， 16m+4，16m+9。

除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：

一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。

下面以四位數為例來説明這個命題。

設四位數為，則

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。

對於n位數，也可以仿此法予以證明。

關於完全平方數的數字和有下面的性質：

性質9：完全平方數的數字之和只能是0，1，4，7，9。

證明 因為一個整數被9除只能是9k，9k±1， 9k±2， 9k±3， 9k±4這幾種形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7