lncosx有積分嗎
lncosx積分意思是對lncosx這個函數,在一個實數區間上的積分可以理解為在座標平面上,由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值(一種確定的實數值)。
求法:令x=π/2-t,則在積分區間[0,π/2],有∫ln(sinx)dx=∫ln(cosx)dx。
另外,原式=∫(x=0,π/4)ln(cosx)dx+∫(x=π/4,π/2)ln(cosx)dx。對後一個積分,令x=π/2-θ,則∫(x=π/4,π/2)ln(cosx)dx=∫(θ=0,π/4)ln(sinθ)dθ,∴原式=∫(x=0,π/4)[ln(cosx)+ln(sinx)]dx=∫(x=0,π/4)ln[(1/2)(sin2x)]dx=∫(x=0,π/4)ln(sin2x)dx-(π/4)ln2【再令2x=y】=(1/2)∫(x=0,π/2)ln(siny)dy-(π/4)ln2。
∴∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx=(1/2)∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx-(π/4)ln2,即∫(x=0,π/2)ln(cosx)dx=-(π/2)ln2。
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