抛物线焦点弦方程
焦点弦公式2p/sina^2。
证明:设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a(x1,y1),b(x2,y2)。
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0,所以,x1+x2=p(k^2+2)/k^2。
由抛物线定义,af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,bf=x2+p/2。
所以:
ab
=x1+x2+p
=p(1+2/k^2+1)
=2p(1+1/k^2)
=2p(1+cos^2/sin^2a)
=2p/sin^2a
抛物线四种方程的异同
一、共同点:
①原点在抛物线上,离心率e均为1。
②对称轴为坐标轴。
③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别对称于原点,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
二、不同点:
①对称轴为x轴时,方程右端为±2px,方程的左端为y^2对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,方程的左端为x^2。
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程的右端取正号开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号。
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