椭圆上的点与焦点连线的夹角
心理2.3W
椭圆上一点和两个焦点连线构成三角形,设两个焦点之间的距离是c,椭圆上的点和焦点的距离分别是a,b,此夹角为θ,(显然0<θ<π)则由余弦定理有
c^2=a^2+b^2-2abcosθ
=a^2+b^2-2abcosθ+2ab-2ab
=(a+b)^2-2ab(1+cosθ)
所以2ab(1+cosθ)=(a+b)^2-c^2
c是两个焦点之间的距离,是个定值。
由椭圆的定义,a+b也是定值,所以(a+b)^2-c^2是个定值,则2ab(1+cosθ)也是定值
因为当0<θ<π时cosθ是减函数,所以ab最大时,1+cosθ可以取到最小值,此时θ最大
由柯西不等式可得a+b是定值时,a=b时ab最大
而a=b就是端点。
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