指數函數求導公式的證明

指數函數求導公式：

(a^x)'=(lna)(a^x)

證明：

設：指數函數爲：y=a^x

y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x

y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

設：[(a^(△x)]-1=M

則：△x=log【a】(M+1)

因此，有：

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/log【a】(M+1)

=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

當△x→0時，有M→0

故：

lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

=1/log【a】e

=lna

代入(1)，有：

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lna

證畢。