餘弦定理推導的過程是什麼
推導過程:
1、 將三角形ABC沿着邊BC摺疊,得到三角形A'B'C,其中A'爲A在BC上的對稱點
2、 將三角形A'B'C沿着邊A'B'摺疊,得到三角形A''B''C,其中A''爲A'在A'B'上的對稱點
3、 由於A''爲A'的對稱點,因此A''B''=A'B'
4、 由於A'爲A的對稱點,因此A'B'=AB
5、 由此可得:A''B''=AB
6、 將三角形A''B''C沿着邊A''C摺疊,得到三角形A'''B'''C,其中A'''爲A''在A''C上的對稱點
7、 由於A'''爲A''的對稱點,因此A'''B'''=A''B''
8、 由此可得:A'''B'''=AB
9、 由此可得:A'''C=AC
10、 將三角形A'''B'''C沿着邊B'''C摺疊,得到三角形A''''B''''C,其中A''''爲A'''在B'''C上的對稱點
11、 由於A''''爲A'''的對稱點,因此A''''B''''=A'''B'''
12、 由此可得:A''''B''''=AB
13、 由此可得:A''''C=BC
14、 由此可得:A''''B''''=A'''B'''=AB,A''''C=BC
15. 由此可得:A''''B''''C爲等腰三角形
16.、 由此可得:A''''B''''C爲等腰三角形,則有:
A''''B''''²=A''''C×B''''C
即:AB²=AC×BC
17、 將A''''B''''C摺疊回原來的三角形ABC,得到:
AB²=AC×BC
即:餘弦定理
方法之一:建立直角座標系,讓△ABC的AB邊與X軸正半軸重合,A點與原點重合。
則A(0,0),B(c,O),C(,)於是BC=√(c-b.C0SA)^2+(0—bSinA)^2。
由於BC=a,將上式化簡整理得到a^2=b^2+c^2-2bc.C0SA。
同理可推出另兩個式子。
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊爲c,∠B所對的邊爲b,∠A所對的邊爲a
則有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得:
AC2=AD2+DC2
b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2
b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2
b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2
b2=c2+a2-2accosB
cosB=(c2+a2-b2)/2ac。
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