1/2+sin²x等於
萬能代換:令y = tan(x/2),dx = 2dy/(1 + y²),sinx = 2y/(1 + y²)
∫ 1/(2 + sinx) dx
= ∫ [2/(1 + y²)]/[2 + 2y/(1 + y²)] dy
= ∫ 1/(y² + y + 1) dy
= (2/√3)arctan[(2tan(x/2) + 1)/√3] + C
= (2/√3)arctan[(2/√3)tan(x/2) + 1/√3] + C
解釋
根據牛頓-萊布尼茨公式,許多函數的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這裏要注意不定積分與定積分之間的關係:定積分是一個數,而不定積分是一個表達式,它們僅僅是數學上有一個計算關係。
一個函數,可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而沒有不定積分。連續函數,一定存在定積分和不定積分若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函數有界,則定積分存在若有跳躍、可去、無窮間斷點,則原函數一定不存在,即不定積分一定不存在。
1/2+sin²x等於
回答如下所示:
解題步驟如下
1/2+sin²x
=1/2+1-cos²x
=3/2+(cos2x+1)/2
=cos2x+2
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