雙射和滿射的區別

"滿射和雙射" 描述函式的行為，函式是把一個集 "A" 的元素與另一個集 "B" 的元素配對的方法。

滿射的意思是每個（所有）"B"的元素都有至少一個相對的"A"的元素（可能多於一個），沒有一個"B"的元素是沒有相對的"A"的元素的。

雙射的意思是單射和雙射都成立，所以兩個集合的每個元素之間都有一個完美的＂一對一＂關係，（但這不只是單射的"一對一＂關係）。

單射只能一對一，不能多對一，滿射就是不論一對一，還是多對一，在對映f:X→Y中，Y中任一元素y都是X中某元素的像，也就是Y中所有元素在X中都能找到原像，至於找到的只有一個原像，那就是雙射，但有的可以找到一個以上的那就不是雙射，即雙射就是既是單射又是滿射。

    設f是由集合A到集合B的對映，如果所有x，y∈A，且x≠y，都有f(x)≠f(y)，則稱f為由A到B的單射。在數學裡，單射函式為一函式，其將不同的引數連線至不同的值上。更精確地說，函式f被稱為是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。另一種說法為，f為單射，當f(a) = f(b)，則a = b(若a≠b，則f(a)≠f(b))，其中a、b屬於定義域。單射在某些書中也叫入射，可理解成“原不同則像不同”。

    如果每個可能的像至少有一個變數對映其上(即像集合B中的每個元素在A中都有一個或一個以上的原像)，或者說值域任何元素都有至少有一個變數與之對應，那這個對映就叫做滿射。

    既是單射又是滿射的對映稱為雙射，亦稱“一一對映”。雙射(Bijection)的原理是一組關係，在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那麼想法是不可能實現的。

    單射(injection):每一個x都有唯一的y與之對應，滿射(surjection):每一個y都必有至少一個x與之對應，雙射(又叫一一對應，bijection): 同時滿足單射與滿射，也就是常見的函式對映。那麼通俗的說，單射就是隻能一對一，不能多對一，滿射就是不論一對一，還是多對一，在對映f:X→Y中，Y中任一元素y都是X中某元素的像，也就是Y中所有元素在X中都能找到原像，至於找到的只有一個原像，那就是雙射，但有的可以找到一個以上的那就不是雙射，即雙射就是既是單射又是滿射。總之只能一對一或多對一，但不能一對多，並且在對映f:X→Y中X的每個元素都參與，Y中可能都參與，那就滿了，就是滿射，反之就不是滿射。

滿射:對任意b，存在a滿足f(a) = b～ 即:值域y是滿的，每個y都有x對應，不存在某個y沒有x對應的情況～

單射:(one-to-one function) 一對一函式，x不同則y不同～ 即:沒有一個x對應兩個y，也沒有一個y有對應兩個x～

雙射:既是滿射，也是單射～ 即:每個y都有x對應，而且都是一一對應～