標準正交基的充要條件

|我們知道.對於方陣A，總有： 

∑aijAkj＝δik|A|.（∑:求和項為 j＝1，2……，n.以下不再重複註明）. 

充分性證明： 

①|A|＝1，aij=Aij.上式成為∑aijakj＝δik.A滿足行正交條件.A為正交矩陣. 

②|A|＝-1，aij=-Aij.還是有∑aijakj＝δik.A滿足行正交條件.A為正交矩陣. 

必要性證明：A為正交矩陣，有∑aijakj＝δik.且|A|＝±1. 

先固定k.讓i=1，2.…….n.得到一個非齊次線性方程組，係數矩陣是A. 

未知數是ak1，ak2，……，akn.常數列是（0，……，1，0……）′.唯一的 

一個1在第k個方程.按克萊木公式：akj＝Aj/|A|. 

Aj為A中第j列換為常數列而得的行列式.細看會知道Aj＝Akj. 

從而，當|A|＝1時，akj=Akj|A|=-1時，akj=-Akj. 

注意k的任意性.必要性成立.