三角形中線交點2比1怎麼證明

答案是：

任取三角形ABC，取重心G。連線AG，BG，CG。延長AG交BC於D，延長BG交AC於E，延長CG交AB於F。證明：AG：GD＝2：1。

∵三角形重心是三角形三邊中線交點

∴AD，BE，CF均為三角形ABC的中線

延長AD至M使得DM＝GD

連線CM

∵D為BC中點

∴BD＝CD

又∵DM＝GD（已知）

      ∠BDG＝∠CDM（對頂角相等）

∴△BDG≌△CDM（SAS）

∴∠BGD＝∠CMD

∴BG∥MC（內錯角相等，兩直線平行）

即GE∥MC

∴∠AGE＝∠AMC（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠GAE＝∠MAC

∴△AGE∽△AMC

∴AG/AM＝AE/AC

∵E為AC中點

∴AE＝½AC

即AE/AC＝½

∴AG/AM＝½

即AG＝½AM

∴GM＝AM-AG＝AM-½AM＝½AM

∴AG＝GM

∵GD＝DM

又∵GD＝GM-DM

∴GD＝DM＝½GM＝½AG

即AG：GD＝2：1

這是一道幾何證明題。

已知：三角形ABC中，AL、BM、CN分別是BC、CA、AB的中線。三線交點為G。

求證：AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

證明：延長GL，並在延長線上取點D，使GL=LD 。因為四邊形BDCG的對角線互相平分，所以BDCG是平行四邊形。BG∥DC，即GM∥DC。M是AC的中點，因此G是AD的中點，即AG=GD=GL+LD=2GL

因此AG﹕GL=2﹕1同理可證： BG﹕GM=2﹕1CG﹕GN=2：1。

連線兩個中點，得到該三角形的中位線，根據三角形的中位線平方於第三邊，且等於第三邊的一半，再根據平行線分線段成比例定理，便可證明。