微分和積分的差別

微分和積分的區別包括：定義不同、數學表達不同、幾何意義不同。

定義不同

微分在數學中的定義：由函式B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。

設f是從歐幾里得空間（或者任意一個內積空間）中的一個開集射到的一個函式。對於中的一點x及其在中的鄰域中的點x+h。如果存線上性對映A使得對任意這樣的x+h，那麼稱函式f在點x處可微。線性對映A叫做f在點x處的微分。

積分是把微分後的結果，也就是無數無限小的東西重新集合成為一個整體。

定義積分的方法不止一種，各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函式：在某些積分的定義下這些函式不可積分，但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分和勒貝格積分。

數學表達不同

微分：導數和微分在書寫的形式有些區別，如y' =f (x)，則為導數，書寫成dy=f (x)dx，則為微分。

積分：設F (x)為函式f (x)的一個原函式，我們把函式f (x)的所有原函式F (x) +C (c為任

意常數)，叫作函式f(x)的不定積分，數學表示式為：若f' (x)=g(x)，則有f g(x) dx=f(x) +c。

幾何意義不同

微分的幾何意義是將線段無線縮小來近似代替曲線段

積分是需要幾何形體的面積或體積。

微分介紹

早在希臘時期，人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些討論的論證和結論都很荒謬，但無可否認，這些討論是人類發展微積分的第一步。

十七世紀以後，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」聯絡起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的里程碑。

微分的性質

如果f是線性對映，那麼它在任意一點的微分都等於自身。

在Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函式的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

設f是從Rn射到Rm的函式，f=(f1，f2，)，那麼：

具體來說，對於一個改變數：，微分值：

可微的必要條件：如果函式f在一點x_0處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素都存在，但反之不真。

可微的充分條件：如果函式f在一點x_0的雅克比矩陣的每一個元素frac{partial f_i}{partial x_j}(x_0)都在x_0連續，那麼函式在這點處可微，但反之不真。