bezout定理的内容
贝祖等式,依艾蒂·贝祖命名,是线性丢番图方程。
它说明若有整数a、b和其最大公因子d,必存在整数x、y使得:
ax + by = d
x、y称为贝祖数,可用扩展版辗转相除法求得,但结果不是唯一的。
例如12和42的最大公因子是6,便可以写(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
d其实就是最小可以写成ax + by形式的正整数。
辗转相除法是用来求最大公约数的.我们用代数的形式来表达(实质上,算术形式也是可以完全讲得清楚的).给出两个正整数a和b,用b除a得商a0,余数r,写成式子
a=a0b+r,0≤r<b. (1)
这是最基本的式子,辗转相除法的灵魂.如果r等于0,那么b可以除尽a,而a、b的最大公约数就是b.
如果r≠0,再用r除b,得商a1,余数r1,即
b=a1r+r1,0≤r1<r.
(2)如果r1=0,那么r除尽b,由(1)也除尽a,所以r是a、b的公约数.反之,任何一龀、b的数,由(1),也除尽r,因此r是a、b的最大公约数.
如果r1≠0,则用r1除r得商a2,余数r2,即
r=a2r1+r2,0≤r2<r1. (3)
如果r2=0,那么由(2)可知r1是b、r的公约数,由(1),r1也是a、b的公约数.反之,如果一数除得尽a、b,那末由(1),它一定也除得尽b、r,由(2),它一定除得尽r、r1,所以r1是a、b的最大公约数.
如果r2≠0,再用r2除r1,如法进行.由于b>r>r1>r2>…逐步小下来,而又都是正整数,因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1).这就是有名的辗转相除法,在外国称为欧几里得算法.这个方法不但给出了求最大公约数的方法,而且帮助我们找出x、y,使
ax+by=d.
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