怎么证明o是三角形的垂心
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
OA^2+(OC-OB)^2 = OB^2+(OA-OC)^2
OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2 = OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2
-2OC*OB = -2OA*OC
OC*OB=OA*OC
OC*OB=OC*OA
OC*OB - OC*OA=0
OC*(OB-OA)=0
OC*AB=0
OC丄AB
同理 OA丄BC,OB丄AC
所以 O 是三角形垂心 。
三角形的垂心定理:
在三角形ABC中,求证:它的三条高交于一点。
证明:作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D。
只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB,BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
还可以通过向量证明。
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