n的n次方分之x的n次方收敛域
n的n次方分之x的n次方的收敛域为【-n,n】。x在此域内取值时,该函数的极限存在,且为零。
欲使x的n次方/n的n次方=(x/n)的n次方收敛,即n→∝时(x/n)的n次方有极限,须Ix/nⅠ≤1,即-1≤x/n≤1。从而得,lxl≤n,即
-n≤x≤n。
当-n≤x≤n,n→∝时n的n次方分之x的n次方→0,即它极限为0。
也就是说,n的n次方分之x的n次方的收敛域为【-n,n】。
对于幂级数 ∑ nxⁿ
由于 |u(n+1) / u(n)|
=(n+1)/n * |x|
→ |x|<1,(n→∞)
所以 -1<x<1
明显 x=±1 时均发散
因此收敛域 (1-1,1)。
第n+1项是(n+1)
!(x/(n+1))^(n+1) 第n项是n!(x/n)^n 两者相除=(n+1)
!(x/(n+1))^(n+1)/[n!(x/n)^n]=(n+1)*(x/n)*(n/(n+1))^(n+1)=(n+1)*(x/n)*([(n+1)-1]/(n+1))^(n+1) n趋近于正无穷时上式=(n+1)*(x/n)*1/e=x/e 所以收敛域是(-e,e),再考察一下端点 x=e时由斯特林公式可知,an在n趋于无穷时=1,所以发散 故 x=-e时,an在n趋于无穷时是交错的正负1,所以发散 所以收敛域是(-e,e)
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