梯形蝴蝶定理证明
蝴蝶模型又称梯形蝴蝶定理,是指在一个梯形中连接对角线后形成四个三角形。梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名。
梯形蝴蝶定理证明:
S1和S2的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²︰b²。
S1和S4三角形同底等高,可知S1︰S4=OA︰OC ,又因为S1和S2是相似三角形,相似比=a︰b,所以S1︰S4=OA︰OC=a︰b=a²︰ab 同理S1︰S3=a²︰ab。所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。
蝴蝶模型公式推导过程:
S1和S2的的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²:b²。设梯形高为h,S3+S2=1/2,bh=S4+S2,所以S3=S4。
设S4三角形高为h1(底为OB),可知S3:S1=S4:S1=OB:OA。因为S1和S2的的三角形是相似三角形,S4:S1=OB:OA=b:a,所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。
梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理,由于该定理的几何图形形状奇特,形似蝴蝶,所以以蝴蝶来命名。相似图形,面积比等于对边比的平方也就是S1:S2=a²/b²。
定理证明如下,在梯形中,存在以下关系:
相似图形,面积比等于对边比的平方也就是S1:S2=a^2/b^2
S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab
S3=S4
S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
2
证明
左上角为A,右下角为B
S1和S2的的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²:b² 设梯形高为h,S3+S2=1/2 bh=S4+S2.所以S3=S4 设S4三角形高为h1(底为OB),可知S3:S1=S4:S1=OB:OA 。因为S1和S2的的三角形是相似三角形,S4:S1=OB:OA=b:a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
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