單調收斂定理與控制收斂定理

設0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一單調非負隨機變量列。那麼，若Xn(處處)收斂於隨機變量X，則相應的數學期望列EX1，EX2，…，EXn，…收斂於X的數學期望EX，這種現象稱爲單調收斂定理。

控制收斂定理：如果逐點收斂的函數列的每一項都能被同一個勒貝格可積的函數“控制”（即對變量的任何取值，函數的絕對值都小於另一個函數），那麼函數列的極限函數的勒貝格積分等於函數列中每個函數的勒貝格積分的極限。勒貝格控制收斂定理顯示出勒貝格積分相比於黎曼積分的優越性，在數學分析和實變函數論中有很大的應用。