浮點操作的方法

浮點數的加減運算一般由以下五個步驟完成：對階、尾數運算、規格化、舍入處理、溢出判斷

一、對階

所謂對階是指將兩個進行運算的浮點數的階碼對齊的操作。對階的目的是為使兩個浮點數的尾數能夠進行加減運算。因為，當進行M x·2Ex與M y·2Ey加減運算時，只有使兩浮點數的指數值部分相同，才能將相同的指數值作為公因數提出來，然後進行尾數的加減運算。對階的具體方法是：首先求出兩浮點數階碼的差，即⊿E＝E x-E y，將小階碼加上⊿E，使之與大階碼相等，同時將小階碼對應的浮點數的尾數右移相應位數，以保證該浮點數的值不變。幾點注意：

（1）對階的原則是小階對大階，之所以這樣做是因為若大階對小階，則尾數的數值部分的高位需移出，而小階對大階移出的是尾數的數值部分的低位，這樣損失的精度更小。

（2）若⊿E＝0，説明兩浮點數的階碼已經相同，無需再做對階操作了。

（3）採用補碼錶示的尾數右移時，符號位保持不變。

（4）由於尾數右移時是將最低位移出，會損失一定的精度，為減少誤差，可先保留若干移出的位，供以後舍入處理用。

二、尾數運算

尾數運算就是進行完成對階後的尾數相加減。這裏採用的就是我們前面講過的純小數的定點數加減運算。

三、結果規格化

在機器中，為保證浮點數表示的唯一性，浮點數在機器中都是以規格化形式存儲的。對於IEEE754標準的浮點數來説，就是尾數必須是1.M的形式。由於在進行上述兩個定點小數的尾數相加減運算後，尾數有可能是非規格化形式，為此必須進行規格化操作。

規格化操作包括左規和右規兩種情況。

左規操作：將尾數左移，同時階碼減值，直至尾數成為1.M的形式。例如，浮點數0.0011·25是非規格化的形式，需進行左規操作，將其尾數左移3位，同時階碼減3，就變成1.1100·22規格化形式了。

右規操作：將尾數右移1位，同時階碼增1，便成為規格化的形式了。要注意的是，右規操作只需將尾數右移一位即可，這種情況出現在尾數的最高位（小數點前一位）運算時出現了進位，使尾數成為或的形式。例如，10.0011·25右規一位後便成為1.00011·26的規格化形式了。

四、 舍入處理

浮點運算在對階或右規時，尾數需要右移，被右移出去的位會被丟掉，從而造成運算結果精度的損失。為了減少這種精度損失，可以將一定位數的移出位先保留起來，稱為保護位，在規格化後用於舍入處理。

IEEE754標準列出了四種可選的舍入處理方法：

（1）就近舍入（round to nearest）這是標準列出的默認舍入方式，其含義相當於我們日常所説的“四捨五入”。例如，對於32位單精度浮點數來説，若超出可保存的23位的多餘位大於等於100…01，則多餘位的值超過了最低可表示位值的一半，這種情況下，舍入的方法是在尾數的最低有效位上加1若多餘位小於等於011…11，則直接捨去若多餘位為100…00，此時再判斷尾數的最低有效位的值，若為0則直接捨去，若為1則再加1。

（2）朝+∞舍入（round toward +∞）對正數來説，只要多餘位不為全0，則向尾數最低有效位進1對負數來説，則是簡單地捨去。

（3）朝-∞舍入（round toward -∞）與朝+∞舍入方法正好相反，對正數來説，只是簡單地捨去對負數來説，只要多餘位不為全0，則向尾數最低有效位進1。

（4）朝0舍入（round toward 0）

即簡單地截斷捨去，而不管多餘位是什麼值。這種方法實現簡單，但容易形成累積誤差，且舍入處理後的值總是向下偏差。

五、 溢出判斷

與定點數運算不同的是，浮點數的溢出是以其運算結果的階碼的值是否產生溢出來判斷的。若階碼的值超過了階碼所能表示的最大正數，則為上溢，進一步，若此時浮點數為正數，則為正上溢，記為+∞，若浮點數為負數，則為負上溢，記為-∞若階碼的值超過了階碼所能表示的最小負數，則為下溢，進一步，若此時浮點數為正數，則為正下溢，若浮點數為負數，則為負下溢。正下溢和負下溢都作為0處理。

要注意的是，浮點數的表示範圍和補碼錶示的定點數的表示範圍是有所不同的，定點數的表示範圍是連續的，而浮點數的表示範圍可能是不連續的。