等比数列的特征
等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注:q=1 时,an为常数列。
数学中的应用
设ak,al,am,an是等比数列中的第k、l、m、n项,若k+l=m+n,求证:ak×al=am×an
证明:设等比数列的首项为a1,公比为q,则:
ak=a1·qk-1,al=a1·ql-1,am=a1·qm-1,an=a1·qn-1
所以:
ak×al=a12×qk+l-2,am×an=a12×qm+n-2
故:ak×al=am×an
说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积,即:
a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列,同样有:在等差数列中,距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即:
a1+k+an-k=a1+an。
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