余弦定理是怎么推导的

  欧几里得的余弦定理（也称为欧氏定理）指出，在任意一个三角形中，其三条边的平方和等于第三条边的平方乘以2： a2 + b2 = c2 × 2 其中，a、b、c分别代表三角形的三条边的长度。 

  欧氏定理的推导过程： 

 （1）首先，画出一个三角形ABC，其中AB为斜边，∠CAB=α。 

 （2）把C点移动到A点，得到AB和BC两条线段，它们之间有一个角α=∠CAB。 

 （3）从A点引出一条垂线CD，它与AB连接点A共同构成四边形ABCD。 

 （4）因为∠ACD=90°，∠ABC=90°，因此四边形ABCD是平行四边形。 

 （5）两个平行四边形的两个对角线之间的关系是：它们的乘积等于两个相邻边的乘积，即： AB × CD = AC × BD 

 （6）由平行四边形的两个对角线之间的关系可知： AB² = AC × BD 

 （7）由步骤（2）可知：AB=AC+BC，因此： AB² = (AC+BC)² 

 （8）将（7）式中的(AC+BC)²展开： AB² = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （9）由步骤（6）可知：AB² = AC × BD，因此： AC × BD = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （10）令BD=2，则有： AC × 2 = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （11）将（10）式中的2移到右边： AC × 2 - 2AC × BC - AC² = BC² 

 （12）将（11）式中的AC²和2AC × BC合并： AC² + 2AC × BC = BC² 

 （13）将（12）式中的2AC × BC移到左边： 2AC × BC = BC² - AC² 

 （14）将（13）式中的BC²和AC²合并： 2AC × BC = BC² - AC² 

 （15）将（14）式中的2AC × BC移到右边： BC² - AC² = 2AC × BC 

 （16）将（15）式中的BC²和AC²合并： BC² = AC² + 2AC × BC 

 （17）综上所述，得出欧氏定理： a2 + b2 = c2 × 2

教材余弦定理是用平面向量数量积推出来的。△ABC中，向量BC＝向量AC－向量AB，两边平方得a＾2＝b＾2＋C＾2一2bCcosA。未学平面向量之前运用两点间距离推导出来的。