裂項的來歷

①裂項公式由來:

由於1/a-1/b=(b-a)/[a*b]，所以1/[a*b]=[1/(b-a)] * [1/a-1/b]

那麼我們就可以反過來利用公式

如:1/2+1/6+1/12+1/20=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5=1-1/5=4/5，這個式子裡b-a=1

1/3+1/15+1/35=1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)=(1/2) * [1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7]=(1/2)*6/7=3/7，這個式子裡b-a=2

②等差公式:(其實是由於高斯小時候發現1+2+3+...+100的簡便方法的推廣)

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 =S

100 + 99 + 98 + 97 + ... + 1 =S 兩個式子相加

101 +101+101+101+ ... +101=101*100(100個101)=10100=2S

並且注意到兩個式子相等，所以原式=10100/2=5050

③等比數列:

1+q+q^2+q^3+...+q^n =T

上面式子乘以q得:

q+q^2+q^3+...+q^n+q^(n-1) =qT

上面減下面得:

T-qT=(1-q^(n-1))

所以原式=T=(1-q^(n-1))/(1-q)