三元均值不等式的取等條件

三元均值不等式的成立條件：

1、當a+b+c為定值時，三次方根(abc)有最大值為(a+b+c)/3 (若且唯若a=b=c是取等號)。

2、當abc為定值時，(a+b+c)/3 有最小值為三次方根(abc)。三次方根

如果一個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根或三次方根（cube root).這就是說，如果x3=a，那麼x叫做a的立方根。（注意：3√a中 的指數3不能省略，要寫在根號的左上角。）

擴充套件資料：

常用定理

①不等式F（x）< G（x）與不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x）< G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那麼不等式 F（x）<G（x）與不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，並且H（x）>0，那麼不等式F(x)<G（x）與不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解如果H（x）<0，那麼不等式F（x）<G（x）與不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0與不等式同解不等式F（x）G（x）<0與不等式同解。

關於均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裡簡要介紹數學歸納法的證明方法：

（注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。）

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則 

且僅當B=0時取等號。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）（或用二項展開公式更為簡便）。