數學向量直線與直線的距離公式

平面外的一個點A(x1，y1，z1)，到一條直線的距離求法：

先在空間直線上任意取一個點B（x2，y2，z2)

作出AB的向量（x2-x1，y2-y1，z2-z1)

直線的方向向量為（m，n，p)

算出方向向量和AB向量所在平面的法向量。

計算出法向量的模：S1=根號下（a平方+b平方+c平方）

計算出原直線方向向量的摸S2=根號下（m平方+n平方+p平方）

空間中點到直線的距離D=S1/S2

擴充套件資料：

點到直線距離是連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識。

證：根據定義，點P(x₀，y₀)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長

設點P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A

則l'的解析式為y-y₀=(B/A)(x-x₀)

把l和l'聯立得l與l'的交點Q的座標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)， (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))

由兩點間距離公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。