牛頓冪和公式

通常稱為指數級數的這種冪級數，事實上可認為是數學裡最重要的級數，它是由英國偉大的數學家和物理學家牛頓（1642 – 1727年）所發現的。他的包含正弦級數、餘弦級數、反正弦級數、對數級數、二項級數以及指數級數的這篇著名論文寫於1665年。然而牛頓指數級數的解法不太嚴謹且過於複雜。

下面的解法是以函式x^n和函式e^x的平均值為基礎的。

藉助於指數函式不等式 （1） e^u > 1 + u ，可求得函式ex的平均值。

考慮指數函式自變數的兩個連續值v和V = v + φ > v，並且先以u = φ然後以u = –φ代入（1），分別得到 e^φ > 1 + φ及e^(–φ) > 1 – φ。

分別乘以ev及eV，則得 e^V > e^v + φe^v及e^v > ^eV – φe^V。