拋物線焦點弦性質及證明

一個性質：過焦點F的一條直線交拋物線y²=2px(p>0)與P，Q兩點，則PF與FQ的長度為p，q，則1/p+1/q=2/p

證明：拋物線y^2=2px

焦點(p/2，0)

設焦點弦

y=k(x-p/2)

y=kx-kp/2

x=y/k+p/2

代入y^2=2px

x1+x2=p(2+k²）/k²，x1*x2=p²/4

而1/p+1/q=p+q/qp=x1+x2+p/(x1+p/2)(x2+p/2)，把x1+x2和x1x2帶入，得到p/2

焦點弦長=x1+x2+p，由e=1證

y1*y2=-p^2 ，y=k(x-p/2)和拋物線聯立

通過上面的可證x1*x2=(p^2)/4

A、B為焦點弦的兩點，BC//X軸，C為準線上點，有AC過原點

在拋物線y²=2px中，弦長公式為d=p+x1+x2。若直線AB的傾斜角為α，則|AB|=2p/sin²α。y²=2px或y²=-2px時，x1x2=p²/4，y1y2=-p²。x²=2py或x²=-2py時，y1y2=p²/4，x1x2=-p²。

焦點弦是指橢圓、雙曲線或者拋物線上經過一個焦點的弦，是指同一條圓錐曲線或同一個圓上兩點連接而成的線段。

焦點弦是由兩個在同一條直線上的焦半徑構成的。焦半徑是由一個焦點引出的射線與橢圓或雙曲線相交形成的。而由於橢圓或雙曲線上的點與焦點之間的距離(即焦半徑長)可以用橢圓或雙曲線離心率和該