证明向量组线性无关的方法

证明矩阵向量组线性无关，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。

证明举例：A=[1 0 0]T 和B= [010]T 和C= [001]T， 他们之间是没办法 用 A = b*B+c*C 来表示的，或者找不到b和c，使得 A = b*B+c*C成立， 此时说明A和B C线性无关。反之，如果能找到b和c，使得 A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关

判断特征向量线性无关的方法：

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。

对A实施初等行变换

将A化成行梯矩阵。

梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

如果向量组的秩

<

向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。

否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。

若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。

否则向量组线性相关。

例如：a1=(1，1，3，1)，a2=(3，-1，2，4)，a3=(2，2，7，-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。

扩展资料：

简单的相关性和无关性的判断：

1、整体线性无关，局部必线性无关。

2、向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。

3、若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。

4、若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。