连续自然数的n次方和公式推导

当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数

=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数

又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数，合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。

其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。