爲什麼要設輔助角公式的範圍

所謂「輔助角公式」就是中學數學裏面一個平淡無奇的公式：

Acost+Bsint=A2+B2−−−−−−−√cos(t−arctanBA)(A>0)

或

Asint+Bcost=A2+B2−−−−−−−√sin(t+arctanBA)(A>0)

對於這個公式，我們的解釋一般是「提出 A2+B2−−−−−−−√， 湊出兩角和公式」。

然而這對與幾何迷來說並不能滿意對吧

現在我們就來談談幾何意義。

如果用複數來解釋倒是很容易，不過那就開掛了。

所以我打算在實數範圍內就把問題說清楚。

剛纔的公式裏面，我爲什麼不把變量寫成 x， 而是寫成 t 呢

這是因爲，從運動的角度來看，可以更好地理解三角函數。

比如說，還有一套三角函數的基本公式叫做誘導公式。

其中有這麼一條：

sin(x+π2)=cosx

剛學這個公式的時候我就想，正弦一平移就變成了餘弦。

這就說明正弦和餘弦的函數圖像都是一樣的。

也就是說，正弦和餘弦本質上並沒有什麼區別。

當時覺得這相當匪夷所思。

後來就明白了。

如果從運動的角度來考慮，假設有一個點以 1 rad/s 沿單位圓（x2+y2=1）做圓周運動，座標爲 (cost，sint).

那麼，正弦就是這個運動在 y 軸上的投影，餘弦就是在 x 軸上的投影。

x 軸和 y 軸只不過是過原點的有向直線中的兩條罷了。

過原點還有無數條有向直線。

因爲圓是完美對稱的，所以這些直線其實沒有高低貴賤之分。

如果把這個點投影到每條直線上

那麼每一個投影，都是圓周運動的投影，都是簡諧運動。

這些運動也沒有高低貴賤之分。

只不過初相位不同罷了。

x 軸和 y 軸當然也不例外。

然後我們再回來看輔助角公式。

Acost+Bsint=A2+B2−−−−−−−√cos(t−arctanBA)(A>0)

右邊是一個簡諧運動，那麼左邊也是。

這說明左邊也是一個圓周運動的投影。

投影。

想到了什麼

點積。

Acost+Bsint

=(A，B)⋅(cost，sint)

=A2+B2−−−−−−−√⋅proj((cost，sint)→(A，B))

看看這個式子，再看看下面這張圖，是不是有種恍然大悟的感覺

arctanBA 正是 (A，B) 與 x 軸之間的夾角。

所以這個簡諧運動比 x 軸上的投影慢了 arctanBA 個相位。

因此它的表達式就是 cos(t−arctanBA).

這是表示成餘弦。

要表示成正弦也可以。

我們再作一個 (B，A) 向量。

此時 Asint+Bcost=(B，A)⋅(cost，sint).

由於 (B，A) 跟 (A，B) 是關於直線 y=x 對稱的

所以 (B，A) 和 y 軸之間的夾角同 (A，B) 和 x 軸之間的夾角是相等的

也就是 arctanBA.

但是夾角的方向是相反的。

所以這個簡諧運動比 y 軸上的投影快了 arctanBA 這麼多。

因此它的表達是就是 sin(t+arctanBA).

最後補充一下，公式中 A>0 的條件是爲了保證 arctan 函數能夠返回正確的角度。