轉軸轉動慣量推導

先說轉動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=（1/2）mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統運動的可能轉化為運動的實際能量的大小）。

E=（1/2）mv^2 （v^2為v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半徑，在這裡對任何物體來說是把物體微分化分為無數個質點，質點與運動整體的重心的距離為r，而再把不同質點積分化得到實際等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

由於某一個物件物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關於m、r的變數用一個變數K代替，K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是轉動慣量，分析實際情況中的作用相當於牛頓運動平動分析中的質量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個轉動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥於只從純運動角度分析轉動問題。

設剛體中第i個質點的質量為△mi，該質點離軸的垂直距離為ri，則轉動慣量為： J=∑ri2△mi， 即剛體對轉軸的轉動慣量等於組成剛體各質點的質量與各自到轉軸的距離平方的乘積之和。 剛體的質量可認為是連續分佈的，所以上式可寫為積分形式： J=∫r2dm， 積分式中dm是質元的質量，r是此質元到轉軸的距離。

比如圓柱體的轉動慣量其實就可以看作是一個圓盤的轉動慣量 在距離盤心r處取一寬為dr的圓環，它的質量dm=m/(pi*r^2)* 2pi*rdr 然後代入 J=∫r^2dm 從0到r積分，得到J=1/2mr^2