正方形內等邊三角形定理

定理:等邊三角形三條邊相等，三個角相等，外角為30度，且其對應邊等於等邊三角形邊長的一半。所分的三個直角三角形全等。

∵矩形ABCD

∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90

∵∠FCD＝75

∴∠BCF＝90-∠FCD＝15

∵等邊△EFC

∴CE＝CF＝EF，∠ECF＝60

∴∠DCE＝∠BCD-∠BCF-∠ECF＝15

∴∠DCE＝∠BCF

∴△DCE≌△BCF （AAS）

∴BC＝CD

∴正方形ABCD

2、證明：

∵△DCE≌△BCF

∴DE＝BF

∴AE＝AF＝AB-FB＝BC-FB

∵∠A＝90

∴EF＝√2AE

∴CE＝√2AE＝√2（BC-FB）

∴CE²＝2（BC²+FB²-2BC×FB）＝2（BC²+FB²）-4BC×FB＝2CF²-4BC×FB＝2CE²-4BC×FB

∴CE²＝4BC×FB

3、解：過點K作KH⊥BC，作∠BCG＝60，CG交KH延長線於點G

∵KH⊥BC

∴∠GKC＝90-∠BCF＝75

∵K是CF的中點，KH⊥BC，∠B＝90

∴KH是△BCF的中位線

∴CH＝BC/2＝CD/2

∵∠BCG＝60

∴CH＝CG/2

∴CG＝CD

∵∠FCG＝∠BCF+∠BCG＝15+60＝75

∴∠FCG＝∠FCD

∴CK＝CK

∴△DCK≌△GCK （SAS）

∴∠DKC＝∠GKC＝75

∴∠KDC＝180-∠FCD-∠DKC＝30

①、正方形定理

正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

②、中心對稱定理

定理1：關於中心對稱的兩個圖形是全等的

定理2：關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱

③、等腰梯形性質定理

等腰梯形性質定理：

1、等腰梯形在同一底上的兩個角相等

2、等腰梯形的兩條對角線相等

等腰梯形判定定理：

1、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

2、對角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

④、中位線定理

三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半

梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

⑤、相似三角形定理

相似三角形定理：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理：

1、兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)

2、兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

判定定理3：

三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)

相似直角三角形定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似

性質定理：

1、相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比

2、相似三角形周長的比等於相似比

3、相似三角形面積的比等於相似比的平方

⑥、三角函式定理

任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等於它的餘角的正弦值

任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值

⑦、圓的定理

定理：過不共線的三個點，可以作且只可以作一個圓

定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且評分弦所對的兩條弧

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦並且平分弦所對的兩條弧

推論2：弦的垂直平分弦經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧

推論3：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直評分弦，並且平分弦所對的另一條弧

定理：

1、在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

2、經過圓的半徑外端點，並且垂直於這條半徑的直線是這個圓的切線

3、圓的切線垂直經過切點的半徑

4、三角形的三個內角平分線交於一點，這點是三角形的內心

5、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

6、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

7、如果四邊形兩組對邊的和相等，那麼它必有內切圓

8、兩圓的兩條外公切線的長相等兩圓的兩條內公切線的長也相等

20、比例性質定理

比例的基本性質

如果a：b=c：d，那麼ad=bc如果ad=bc，那麼a：b=c：d

合比性質

如果a/b=c/d，那麼(a±b)/b=(c±d)/d

等比性質

如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)

那麼(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b