梯形蝴蝶定理證明

蝴蝶模型又稱梯形蝴蝶定理，是指在一個梯形中連線對角線後形成四個三角形。梯形蝴蝶定理是一個平面幾何中的重要定理，由於該定理的幾何圖形形狀奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶來命名。

梯形蝴蝶定理證明：

S1和S2的三角形是相似的，所以面積比=邊長比的平方即a²︰b²。

S1和S4三角形同底等高，可知S1︰S4=OA︰OC ，又因為S1和S2是相似三角形，相似比=a︰b，所以S1︰S4=OA︰OC=a︰b=a²︰ab 同理S1︰S3=a²︰ab。所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。

蝴蝶模型公式推導過程：

S1和S2的的三角形是相似的，所以面積比=邊長比的平方即a²：b²。設梯形高為h，S3+S2=1/2，bh=S4+S2，所以S3=S4。

設S4三角形高為h1（底為OB），可知S3：S1=S4：S1=OB：OA。因為S1和S2的的三角形是相似三角形，S4：S1=OB：OA=b：a，所以S1︰S2︰S3︰S4=a²︰b²︰ab︰ab。

梯形蝴蝶定理是一個平面幾何中的重要定理，由於該定理的幾何圖形形狀奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶來命名。相似圖形，面積比等於對邊比的平方也就是S1：S2=a²/b²。

定理證明如下，在梯形中，存在以下關係：

相似圖形，面積比等於對邊比的平方也就是S1：S2=a^2/b^2

S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab

S3=S4

S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推匯出)

AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)

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證明

左上角為A，右下角為B

S1和S2的的三角形是相似的，所以面積比=邊長比的平方即a²：b² 設梯形高為h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2.所以S3=S4 設S4三角形高為h1（底為OB），可知S3:S1=S4：S1=OB:OA 。因為S1和S2的的三角形是相似三角形，S4:S1=OB:OA=b：a 所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab