平面向量知識點歸納

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼（向量可以平移）。如：

2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：

overrightarrow{0}

0

注意零向量的方向是任意的

3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與

overrightarrow{AB}

AB

共線的單位向量

一、兩個定理

1、共線向量定理：

兩向量共線（平行）等價於兩個向量滿足數乘關係（與實數相乘的向量不是零向量），且數乘係數唯一。用座標形式表示就是兩向量共線則兩向量座標的“內積等於外積”。此定理可以用來證向量平行或者使用向兩平行的條件。此定理的延伸是三點共線！

三點共線可以向兩個向量的等式轉化：1. 三個點中任意找兩組點構成的兩個向量共線，滿足數乘關係

2、 以同一個點為始點、三個點為終點構造三個向量，其中一個可由另外兩個線性表示，且係數和為1。

2、平面向量基本定理：

平面內兩個不共線的向量可以線性表示任何一個向量，且係數唯一。這兩個不共線的向量構成一組基底，這兩個向量叫基向量。

此定理的作用有兩個：

1、 可以統一題目中向量的形式

2、 可以利用係數的唯一性求向量的係數（固定的演算法模式）。

二、三種形式

平面向量有三種形式，字母形式、幾何形式、座標形式。字母形式要注意帶箭頭，多考慮幾何形式畫圖解題，特別是能得到特殊的三角形和四邊形的情況，向量的座標和點的座標不要混淆，向量的座標是其終點座標減始點座標，特殊情況下，若始點在原點，則向量的座標就是終點座標。

選擇合適的向量形式解決問題是解題的一個關鍵，優先考慮用幾何形式畫圖做，然後是座標形式，最後考慮字母形式的變形運算。

三、四種運算

加、減、數乘、數量積。前三種運算是線性運算，結果是向量（0乘以任何向量結果都是零向量，零向量乘以任何實數都是零向量）數量積不是線性運算，結果是實數（零向量乘以任何向量都是0）。線性運算符合所有的實數運算律，數量積不符合消去律和結合律。

向量運算也有三種形式：字母形式、幾何形式和座標形式。

加減法的字母形式注意首尾相接和始點重合。數量積的字母形式公式很重要，要能熟練靈活的使用。

加減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，數乘的幾何意義是長度的伸縮和方向的共線，數量積的幾何意義是一個向量的模乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數量。向量的夾角用尖括號表示，是兩向量始點重合或者終點重合時形成的角，首尾相接形成的角為向量夾角的補角。

射影數量有兩種求法：1. 向量的模乘以夾角餘弦2. 兩向量數量積除以另一向量的模。

加減法的座標形式是橫縱座標分別加減，數乘的座標形式是實數乘以橫、縱座標，數量積的座標形式是橫座標的乘積加縱座標的乘積。

四、五個應用

求長度、求夾角、證垂直、證平行、向量和差積的模與模的和差積的關係。前三個應用是數量積的運算性質，證平行的數乘運算性質，零向量不能說和哪個向量方向相同或相反，規定零向量和任意向量都平行且都垂直一個向量乘以自己再開方就是長度兩個向量數量積除以模的乘積就是夾角的餘弦兩個向量滿足數乘關係則必定共線（平行）。一個向量除以自己的模得到和自己同方向的單位向量，加符號是反方向的單位向量。