微分方程萬能公式

一階微分方程

如果式子可以導成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解

若式子可變形為y'=f(y/x)的形式，設y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解

若式子可整理為dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分離係數法，兩邊積分求解

二階微分方程

y''+py'+q=0 可以將其化為r^2+pr+q=0 算出兩根為r1，r2。

1 若實根r1不等於r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).

2 若實根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)

3 若有一對共軛復根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前幾天剛考完試，根據常出的題型自己做的總結，希望有用處O(∩_∩)O~

解微分方程，為了得到通解，確實需要技巧的，每種型別的方程都有自己特定的解法。

function dx=tf(t，x) %儲存預設的格式 tf.m

dx=zeros(2，1)

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2)

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2)

%%%%%主程式呼叫

[t，x]=ode45('tf'，[0 10]，[50000 200]) %[0 10] %時間起始點 ，[50000 200]) 初值設定 沒有.但有通用的解法，那就數值解法.數值解法是最常用的.也是最能夠體現數學之有用之處的.

萬用公式肯定沒有，如果是求數值解或者級數解的話有很多型別的方程解法是一樣的。

不過假如僅僅指高數裡面的微分方程那非常容易。

高等數學當中的一階微分方程都是有固定解法的一類，解方程的關鍵是辨識要求解的方程是什麼型別。

可分離變數型，往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)這種，直接移項變為g(y)dy=f(x)dx兩邊積分就可解。

求根公式型（包括常數變易法公式），往往是y'=p(x)y+q(x)的形式或者經非常簡短的變形就可以化為這種形式，直接套用求根公式求解。

伯努利（Bernoulli）方程，y'=p(x)y+q(x)y^n，做代換z=y^(1-n)可解，高數中含有y的2次方以上絕大多數都是這種方程。

全微分方程，M(x，y)dx+N(x，y)dy=0。高數當中不涉及可以化為全微分方程的題目，所以涉及的全微分方程都是直接就是這種形式。用湊微分法或者直接積分公式都能解。

高階常係數微分方程只需記住齊次通解公式和兩個特解形式就可以做任何題。

尤拉方程記下來它的運算元法或者是變數代換法也足矣了。