一元三次方程卡爾丹公式例題

一種換元法

對於一般形式的三次方程，先將方程化為x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z-p/3z，代入並[化簡]，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0．這實際上是關於w的[二次方程]。解出w，再順次解出z，x。

卡爾丹公式法特殊型一元三次方程

X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)判別式Δ=(q/2)2＋(p/3)3

卡爾丹公式

X1=(Y1)(1/3)＋(Y2)(1/3)X2= (Y1)(1/3)ω＋(Y2)(1/3)ω^2X3=(Y1)(1/3)ω2＋(Y2)^(1/3)ω其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2Y(1，2)=－(q/2)±((q/2)2＋(p/3)3)^(1/2)

標準型一元三次方程

aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）令X=Y—b/(3a)代入上式可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0卡爾丹判別法當Δ=(q/2)2＋(p/3)3>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根當Δ=(q/2)2＋(p/3)3=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根當Δ=(q/2)2＋(p/3)