國小數列題型及解題方法

例1:

求等差數列3.5.7.···的第10項和第100項。

分析：在這個等差數列中已知a1=3，d=2.n=10或n=100

即：

解

a10=3+（10-1）×2=21

a100=3+（100-1）×2=201

所以第10項是21，第100項是201。

例2:

把1988表示成28個連續偶數的和，那麼其中最大的那個偶數是多少

解

28個偶數成14組，對稱的2個數是一組，即最小數和最大數是一組

每組和為：1988÷14=142，最小數與最大數相差28-1=27個公差

即相差2×27=54，這樣轉化為和差問題，最大數為（142＋54）÷2=98。

例3:

求所有被7除餘數是1的三位數的和。

分析：首先分析一下被7除餘1的三位數是哪些，我們知道符合這一條件最小的是105+1=106，採用同樣方法可知最大三位數是995，而且這些三位數前後兩數相差7，即為等差數列。

即：

解

所求的三位數是106，113，120，......995，則

n=(995-106)÷7+1

=889÷7+1

=128

106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464

例4:

盒子裡裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張，從盒中任意摸出若干張卡片，並算出這若干張卡片上各數的和除以17的餘數，再把這個餘數寫在另一張黃色的卡片上放回盒內，經過若干次這樣的操作後，盒內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片，已知這兩張紅色的卡片上寫的數分別是19和97，求那張黃色卡片上所寫的數。

解

因為每次若干個數，進行了若干次，所以比較難把握，不妨從整體考慮，之前先退到簡單的情況分析：假設有2個數20和30，它們的和除以17得到黃卡片數為16，如果分開算分別為3和13，再把3和13求和除以17仍得黃卡片數16，也就是說不管幾個數相加，總和除以17的餘數不變，回到題目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135個數的和除以17的餘數為0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以黃卡片的數是17-14=3。

例5:

下面的各算式是按規律排列的：

1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那麼其中第多少個算式的結果是1992

解先找出規律：每個式子由2個數相加，第一個數是1、2、3、4的迴圈，第二個數是從1開始的連續奇數。

因為1992是偶數，2個加數中第二個一定是奇數，所以第一個必為奇數，所以是1或3， 如果是1：那麼第二個數為1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996項，而數字1始終是奇數項，兩者不符， 所以這個算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995個算式。

例6:

有一個三角形算式

1

2+3

4+5+6

7+8+9+10

求第51層算式的和是多少

先觀察，因為每層的數的個數與層數相等

所以從第1層到第50層共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(個)數，於是第51層的第一個數為1276，最後一個數為1275+51=1326

第51層的數的和相應為：

1276+1277+1278+...+1326

=(1276+1326)×51÷2

=66351