幾何思維四大階段
幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。
1、實驗幾何的形成和發展
幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察,產生於丈量土地、測量容積、製造器皿與繪製圖形等實踐活動的需要,人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗,形成了一批粗略的概念,反映了某些經驗事實之間的聯絡,形成了實驗幾何.我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何,大體上就是實驗幾何的內容。
例如,我國古代很早就發現了勾股定理和簡易測量知識,《墨經》中載有“圜(圓),一中同長也”,“平(平行),同高也”,古印度人認為“圓面積等於一個矩形的面積,而該矩形的底等於半個圓周,矩形的高等於圓的半徑”等等,都屬於實驗幾何學的範疇。
2、理論幾何的形成和發展
隨著古埃及、希臘之間貿易與文化的交流,埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘.古希臘許多數學家,如泰勒斯(Thales)、畢達哥拉斯(Pythagoras)、柏拉圖(Plato)、歐幾里德(Euclid)等人都對幾何學的研究作出了重大貢獻.特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學,確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎,而後歐幾里德在前人已有幾何知識的基礎上,按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》十三卷,奠定了理論幾何(又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等)的基礎,成為歷史上久負盛名的鉅著。
《幾何原本》儘管存在公理的不完整,論證有時求助於直觀等缺陷,但它集古代數學之大成,論證嚴密,影響深遠,所運用的公理化方法對以後數學的發展指出了方向,以至成為整個人類文明發展史上的里程碑,全人類文化遺產中的瑰寶。
3、解析幾何的產生與發展
公元3世紀,《幾何原本》的出現,為理論幾何奠定了基礎.與此同時,人們對圓錐曲線也作了一定研究,發現了圓錐曲線的許多性質.但在後來較長時間裡,封建社會中的神學佔有統治地位,科學得不到應有的重視.直到15、16世紀歐洲資本主義開始發展起來,隨著生產實際的需要,自然科學才得到迅速發展.法國笛卡爾(Descartes)在研究中發現,歐氏幾何過分依賴於圖形,而傳統的代數又完全受公式、法則所約束,他們認為傳統的研究圓錐曲線的方法,只重視幾何方面,而忽略代數方面,竭力主張將幾何、代數結合起來取長補短,認為這是促進數學發展的一個新的途徑。
4、現代幾何的產生與發展
在初等幾何與解析幾何的發展過程中,人們不斷髮現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處,並不斷地充實一些公理,特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“一條直線與另外兩條直線相交,同側的內角和小於兩直角時,這兩條直線就在這一側相交”的失敗,促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎,並取得了兩方面的突出研究成果。
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