焦點在y軸上的橢圓最小距離問題

可設橢圓方程為

(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)

兩個焦點F1(-c，0)，F2(c，0)

長軸的兩個端點A1(-a，0)，A2(a，0)

因點P在橢圓上，故可設P(acost，bsint)， t∈R。

由兩點間距離公式可得

|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²

=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t

=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²

=c²cos²t+2accost+a²

=(a+ccost)²

由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知

0＜a-c≤a+ccost≤a+c

∴|PF1|=a+ccost

∴| PF1|min=a-c，此時，cost=-1，sint=0，P(-a，0)

又|PF1|+|PF2|=2a

∴當|PF1|min=a-c時，|PF2|max=a+c

此時點P在長軸的一個端點上。

擴充套件資料：

當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)

當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)

其中a^2-c^2=b^2

推導：PF1+PF2>F1F2(P為橢圓上的點，F為焦點)

設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點到F1，F2的距離和為2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角座標系xOy，則F1，F2的座標分別為（-c，0)，（c，0)。

當焦點在X軸上時焦點座標F1（-c，0）F2(c，0)

當焦點在Y軸上時焦點座標F1（0，-c）F2(0，c)