圓柱螺旋線周長計算公式推導

圓柱螺旋線：定義：一動點M沿圓柱的母線作等速直線運動，而該母線又繞圓柱的軸線作等角速度旋轉時，點M的運動軌跡

就是圓柱螺旋線。

引數方程Xt=a*cos(t)

Yt=a*sin(t)

Zt=P*t/2*pi

其中：a為圓柱面的半徑，P為螺旋線的螺距。

首先大家要知道，螺旋線的展開其實就是一條直線，它可以看做以圓柱底面周長為一條直角邊，螺距為高的直角三角形的斜邊

那麼這條斜線的斜率就是p/pi*d，也就是這條斜線的方程是：Z=p/pi*d*L（類似國中的y=k*x)

大家要注意的是，此時的自變數是L（弧長），而我們現在的引數方程是Z(t)，自變數是t

所以只需將L轉化成t就OK

由於在一個圓中，2*pi弧度對應的弧長就是直徑pi*d，所以：t/2*pi=L/pi*d

L=t*d/2，代入到Z=p/pi*d*(t*d/2)=p*t/2*pi

到此就已經OK了。

圓柱波浪線：Xt=a*cos(t)

Yt=a*sin(t)

Zt=A*cos(N*t)

a為圓柱半徑，A為振幅，N為波段數

我們先來看個例子：

大家可以看出，我們Z(高度）與弧長L的關係是一段餘弦曲線，所以Z=A*cos(w*L)注意：此時的自變數是L弧長。

我們給出的餘弦線的週期是pi*d/N=pi*d/6

由於T=2*pi/w，所以w=2*N/d，那麼Z=A*cos(2*N/d*L)

又回到上面那個轉換關係，只需L轉換成t，t/2*pi=L/pi*d

L=t*d/2，所以Z=A*cos(2*N/d*(t*d)/2)=A*cos(N*t)及現在的自變數又為t了。

說明：以上所有涉及圓周率都是寫成了SW認可的pi。

以上所有的方程都不需要什麼高=數學，都是一些三角函式變化。