蝴蝶定理怎麼整

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。

蝴蝶定理的證明

該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣（詳見定理推廣）：

1、 M作為圓內弦的交點是不必要的，可以移到圓外。

2、 圓可以改為任意圓錐曲線。

3、 將圓變為一個箏形，M為對角線交點。

4、 去掉中點的條件，結論變為一個一般關於有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”， 不為中點時滿足:，這對1， 2均成立。

蝴蝶定理是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一，這個命題最早出現在1815年，由W.G.霍納提出證明。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形像一隻蝴蝶。這個定理的證法不勝列舉，至今仍然被數學愛好者研究。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。

去掉中點的條件，結論變為一個一般關於有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，不為中點時滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP，這對2，3均成立。

設弦AB的中點為M，過M 作弦CD，EF，連EC，DF交AB於G，H，則GM=GF。這是蝴蝶定理，下面證明。

※先給出一個關於面積的定理：

△ABC的面積=（1/2）×AB×AC×sinA

證明：設△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面積分別為S1、S2、S3、S4，則

S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E

S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D

S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F

S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C

其中從∠EMG=∠HMF，∠DMH=∠GMC，∠E=∠D，∠F=∠C

∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC

sin∠E = sin∠D， sin∠F = sin∠C

∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1

∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×

｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×

｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×

｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1

整理後：

（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①

令(1/2)AB=a，MG=m，MH=n.由相交弦定理：

DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n)，EG×CG=(a-m)(a+m)，代入①

並整理得：(am)的平方=(an)的平方，∵a≠0，∴m=n

即，MG=MH