玻爾茲曼輸運定理

在高中物理中，我們可以用牛二很好的解決物體的動力學問題，即知道物體的受力以及初始速度與位置，我們可以算出這個物體在今後每一個時刻的速度和位置。但是當時沒有教過，也沒有想過，如果現在我要面對的不是一個物體，也不是兩個物體，而是數億個粒子，這個時候怎麼去描述這些粒子的運動理論上還可以用牛二一個個算，當然沒有個幾萬歲是算不完的。好在基於統計力學，我們現在有玻爾茲曼輸運方程提供了一個近似的解法。

玻爾茲曼輸運理論最基本的一個量叫做分佈函式。事實上，對於非平衡態，我們只要知道分子的分佈函式 [公式] ，我們幾乎就可以知道所有的感興趣的巨集觀量。分佈函式的定義為：[公式] 代表著時刻 [公式] ，處於位置 [公式] 到 [公式] ，速度處於 [公式] 到 [公式] 之間的粒子數目。知道了分佈函式，我們就可以方便的算出一些巨集觀量比如密度，粘性係數，熱導率。

事實上，對於我們感興趣的任意一個巨集觀量，我們都可以基於分佈函式求其巨集觀期望值。假設 [公式] 表示了時刻 [公式] ，當分子處於位置 [公式] 附近以及速度 [公式] 附近時候的一個性質，這個性質可以是能量，或者動量，那麼我們希望知道這個量在空間上的分佈，我們只需要求均值即可

表示分子在空間某處的粒子數。

相比於牛二，我們對系統的描述不再是通過一個一個物體，而是通過分佈函式來描述。這樣就壓縮了很多資訊了。

玻爾茲曼輸運定理

玻耳茲曼輸運方程Boltzmann's transport equation，含時間的分佈函式的演化方程，是討論輸運過程的基本方程。因方程中既有積分又有微分，故又稱玻耳茲曼積分微分方程。

中文名

玻耳茲曼輸運方程

外文名

Boltzmann's transport equation

定義

是討論輸運過程的基本方程

又稱

玻耳茲曼積分微分方程

若將速度在v和（v+dv） 之間、座標在r和（r+dr）之間的分子數目在總分子數中所佔比率（即百分數）表為f（r，v，t）drdv，則f（ r，v，t） 稱為非平衡態的分佈函式，它隨時間變化。1872年玻耳茲曼把分佈函式的變化率歸結為連續運動和碰撞兩個因素，給出了f （r，v，t）所遵循的演化方程，這是一個非線性的積分微分方程，非常複雜。1875年玻耳茲曼用它推導了輸運過程的粘滯係數、擴散係數和熱傳導率，故稱為輸運方程。由於方程非常複雜，直到40多年後的1916～1917年 ，D.恩斯科格和S.查普曼才分別通過冗繁的演算，求出了對於稀薄氣體的解答。玻耳茲曼方程已經成為研究流體、電漿體和中子的輸運過程的基礎。